期望效用理论

这是一种在结果不确定的情况下估计行为可能效用的理论。它表明理性的选择是选择一个具有最高期望效用的行为。

这一理论指出,货币的效用不一定与货币的总价值相同。这就解释了为什么人们可以购买保险。支付保险费的预期价值将是货币损失。但是,由于财富的边际效用递减,大规模损失的可能性可能导致效用的严重下降。

期望值

期望值是数学结果的概率加权平均值。

例如,假设:

  • 一张彩票要20美元。
  • 赢得2000美元奖金的概率为0.5%
  • 彩票的价值将取决于结果x事件发生的概率。
  • 因此期望值= 0.005x 2000=10美元

拥有一张彩票的预期价值是10美元。对于无限数量的事件,平均而言,这是可能的支付。当然,如果我们只玩一次,我们可能是幸运的,也可能是不幸的。

由于门票价格为20美元,购买似乎是不合逻辑的决定——因为购买门票的预期价值为10美元——比购买20美元的价格要低。

大学学位的期望值

假设我们决定学习三年,试图获得一个经济学学位。一个好的学位可能会带来一个薪水更高的工作,但这并不能保证。我们可能会失去学位,或者就业市场可能会对毕业生过剩产生不利影响。

因此,我们可以估计,在我们的一生中,我们额外获得25万美元收入的概率是0.7。在这种情况下,经济学学位的预期效用是17.5万美元。

从期望值到期望值效用

1728年,加布里尔·克莱默写信给丹尼尔·伯努利:

数学家估计钱是根据它的数量,聪明人估计钱是根据他们使用它的方式。

换句话说,额外的1000美元并不总是对我们的边际效用

如果你是穷人,你的收入从每年1000美元增加到2000美元,这将大大提高你的生活质量和效用。

然而,如果你已经很富有,你的收入从每年10万美元增加到10万1千美元,那么效用的改善就很小。

因此,如果你的年收入为10万美元,那么对失去所有财富的可能性很小的风险保持警惕是有道理的。每年在保险上花费1000美元,你会损失1000美元,但要防止失去一切的可能性有限。

额外花费1000美元对公用事业的损失很小。但是,防止失去一切可以防止生计的毁灭性损失。

伯努利在风险度量新理论的阐释(1738)认为预期价值应调整为预期效用——以考虑我们经常看到的这种风险规避。

伯努利指出,大多数保险公司都会支付风险溢价(失去预期价值),以防范低概率但潜在高损失的事件。

逻辑的保险

  • 假设房屋被闪电摧毁的概率是0.0001,但如果房屋被闪电摧毁,你将损失30万美元。
  • 因此,你房子的期望值是0.9999x300,000 = $299,970.
  • 你房子的预期损失只有30美元。
  • 保险公司可能愿意为你30万所房子的损失每年投保100美元。
  • 根据预期价值,你不应该为你的房子投保。100美元的保险费远远高于被摧毁房屋的预期损失30美元。
  • 然而,预期的效用是不同的。
  • 如果你很富有,支付100美元只会带来很小的边际效用下降。
  • 然而,如果你不幸失去了你的房子,失去了一切都会对效用产生相应更大的影响。

风险规避和财富的边际效用递减

utlity-function-risk-aversion 财富从10英镑增加到20英镑,会导致效用的大幅增加(3个效用单位到8个效用单位)

然而,财富从70英镑增加到80英镑会相应地导致效用的小幅增加(30英镑到31英镑)。

这个凹面图显示了货币的边际效用递减,并解释了为什么人们会对小概率的潜在大损失表现出风险规避。

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